Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Чтоб решить систему линейных уравнений способом Гаусса, нужно:

1) составить расширенную матрицу системы;

2) при помощи простых преобразований привести ее к трапециевидному виду;

3) на базе приобретенной матрицы составить и решить систему линейных уравнений;

Чтоб привести матрицу к треугольному виду, можно делать последующие простые преобразования этой матрицы:

1) множить и разделять ее любою Решение систем линейных уравнений методом Гаусса строчку на хорошее от нуля число;

2) поменять местами строчки;

3) ложить и вычитать строчки;

4) вычеркивать строчки, все элементы в каких нули.

Пример 3. Найдите решение системы линейных уравнений способом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

.

При помощи простых преобразований приведем ее к трапециевидному виду:

.

Решим систему уравнений:

Получим: , , .

Проверка:

Ответ: , , .

Пример Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 4. Решите систему линейных уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и при помощи простых преобразований приведем ее к трапециевидному виду:

.

Запишем систему уравнений, подобающую трапециевидной матрице:

Полагая , где , получим:

Тогда , а .

Ответ: , , , где .

Контрольный тест 2

Укажите верный вариант ответа (1 – 10):

1.Если – решение системы линейных уравнений

то значение выражения равно

Варианты ответов: 1) 1,25; 2) 1; 3) 20; 4) 0,5; 5) – 0,75.

2. Система линейных Решение систем линейных уравнений методом Гаусса уравнений

имеет последующее решение

Варианты ответов: 1) ; ; ;

2) ; ; ; 3) ; ; ;

4) ; ; ; 5) ; ; .

3. Сумма всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений

равна

Варианты ответов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4. Если – решение системы уравнений

то значение равно

Варианты ответов: 1) 5; 2) 3; 3) 1; 4) – 1; 5) 0.

5. Если – решение системы уравнений

то значение равно

Варианты ответов: 1) 0; 2) – 3; 3) – 51; 4) 1; 5) .

6. Если – решение системы уравнений

то значение равно

Варианты ответов: 1) 15; 2) – 11; 3) 0; 4) – 2; 5) 11.

7. Если – решение системы уравнений

то значение выражения равно

Варианты ответов: 1) 0; 2) ; 3) 1; 4) 12; 5) , где .

8. Если – определитель основной матрицы системы уравнений Решение систем линейных уравнений методом Гаусса а – ее решение, то значение выражения равно

Варианты ответов: 1) 28; 2) 34; 3) 17; 4) – 14; 5) 0.

9. Система уравнений

1) совместная;

2) не совместная;

3) определенная;

5) не определенная.

10. Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений

равна

Варианты ответов: 1) 2; 2) 8; 3) 28; 4) 4; 5) 0.

ВЕКТОРЫ

Главные понятия и определения

Вектором именуют направленный отрезок. Начало и конец вектора обозначают 2-мя строчными знаками латинского алфавита либо одной строчной буковкой и записывают: либо Решение систем линейных уравнений методом Гаусса .

О
D
C
B
A

На рисунке 3.1 изображен вектор , у которого точка А – начало, а точка В – его конец, и вектор , у которого точка С – его начало, а точка D – его конец.
Рис. 3.1

Нуль – вектором именуют вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор изображают точкой и записывают Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (рис. 3.1).

Единичным вектором именуют вектор, длина которого равна единице.

Разглядим двумерное место с данной в нем системой координат (рис. 3.2). На оси Ох отложим единичный вектор , начало которого совпадает с началом отсчета, а направление – с положительным направлением оси Ох. Аналогичным образом отложим на оси Оу вектор . Векторы и именуют координатными векторами (ортами Решение систем линейных уравнений методом Гаусса) прямоугольной системы координат. Хоть какой вектор на плоскости можно разложить по ортам:

.

Молвят, что х и у – координаты вектора и записывают:

.

Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, именуют радиус-вектором. На рисунке 3.2 вектор – радиус-вектор.

х
у
О
А

z
х
у
О

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Разглядим трехмерное место Решение систем линейных уравнений методом Гаусса с данной в нем декартовой системой координат (рис. 3.3). Единичные векторы , и – координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат.

Хоть какой вектор места можно разложить по ортам:

.

Молвят, что х, у и z – координаты вектора и записывают:

.

Чтоб отыскать координаты вектора, нужно из координат конца вектора отнять надлежащие координаты его начала. Если вектор Решение систем линейных уравнений методом Гаусса задан в двумерном пространстве, и точка – его начало, а точка – его конец, то он имеет две координаты и , которые записывают в круглых скобках прямо за заглавием вектора либо без наименования вектора:

либо .

Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка – его начало , а точка – его конец, то записывают: .

К примеру Решение систем линейных уравнений методом Гаусса: 1) Если известны координаты точек и , то вектор будет иметь координаты: либо . Вектор координаты: либо . Вектор будет иметь координаты: .

2) Если известны точки и , то вектор будет иметь координаты:

либо .

Координаты середины отрезка (середины вектора): если точки и – концы отрезка, а точка М – его середина, то точка М будет иметь координаты Решение систем линейных уравнений методом Гаусса:

.

К примеру: 1) Если известны координаты точек и , то точка М, являющаяся серединой отрезка , будет иметь координаты:

либо .

2) Если известны координаты точки , которая является серединой отрезка АВ, и координаты точки , то координаты точки найдем, решая уравнения:

, и ,

откуда , и .

Запишем: .

Длину вектора записывают и читают: модуль вектора либо длина вектора Решение систем линейных уравнений методом Гаусса .

Если известны координаты точек – начала и – конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле:

. (3.1)

Если известны координаты вектора , то длину вектора находят по формуле:

. (3.2)

Пример 1. Известны координаты вершин треугольника ABC: , и . Найдите периметр этого треугольника.

Решение. Согласно формуле 3.1 запишем:

;

;

.

Зная длины сторон треугольника, найдем его периметр:

, .

Ответ: .

Пример Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 2. Найдите длину вектора .

Решение. Согласно формуле 3.2 запишем: . Так как длина вектора равна единице, вектор – единичный.

Ответ: 1.

Коллинеарными именуют векторы, лежащие на параллельных прямых (либо на одной прямой).

На рисунке 3.4 изображены коллинеарные векторы , , и .
Рис. 3.4

Условие коллинеарности векторов: векторы и коллинеарны, если их надлежащие координаты пропорциональны, другими словами если производится Решение систем линейных уравнений методом Гаусса равенство

. (3.3)

При всем этом, если:

а) , то векторы сонаправлены;

б) , то векторы обратно ориентированы.

К примеру: 1) На рисунке 3.4 векторы и , также и сонаправлены. Записывают: и .

2) На рисунке 3.4 вектор и , также векторы и обратно ориентированы. Записывают: и .

3) Векторы и коллинеарны, потому что . А так как , то они обратно ориентированы.

Векторы, имеющие Решение систем линейных уравнений методом Гаусса равные длины и обратно направленные, именуют обратными.

В
А

Вектор, обратный вектору , записывают: либо . А вектор, обратный вектору , записывают: (рис. 3.5).
Рис.3.5

К примеру, векторы и обратны, потому что , и .

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (либо в одной плоскости), именуют компланарными

На рисунке 3.6 изображен прямой параллелепипед. Векторы , и , также векторы , и компланарны Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Векторы , и , также векторы , и не компланарны.
Рис. 3.6

Условие компланарности 3-х векторов: векторы , и компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:

(3.4)


reshenie-soveta-deputatov-gorodskogo-poseleniya-rabochij-poselok-chegdomin-stranica-9.html
reshenie-soveta-gorodskogo-okruga-gorod-sterlitamak-respubliki-bashkortostan.html
reshenie-soveta-kujbishevskogo-selskogo-poseleniya-stranica-23.html