Решение системы общего вида

Пусть задана система линейных уравнений вида (16.1), где , т. е. число неведомых не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой системы.

Нужно найти совместность системы, т.е. найти поначалу ранги матрицы системы А и расширенной матрицы АВ. По аксиоме Кронекера-Капелли, если ранги этих матриц не совпадают, то система несовместна, тогда и нет Решение системы общего вида смысла ее решать. Если же ранги матриц А и АВ равны, то система (16.1) совместна.

Определение.Рангом совместной системы линейных алгебраических уравнений именуется ранг ее матрицы.

Пусть система (16.1) совместна и ранг ее равен k. Выделим в матрице системы (16.2) некий базовый минор; представим, что конкретно 1-ые г строк матриц А и АВ являются базовыми. Тогда по Решение системы общего вида аксиоме о базовом миноре другие строчки матрицы являются линейными комбинациями других строк. В свою очередь, это значит, что в системе (16.1) 1-ые r уравнений, надлежащие базовым строчкам матрицы А, являются базовыми, а другие — их линейными комбинациями. Тогда эти (m — r) уравнений можно удалить из системы, при этом в итоге Решение системы общего вида обозначенных простых преобразований мы получаем эквивалентную систему:

(16.13)

Система (16.13) свойственна тем, что ее ранг равен числу уравнений в ней, при этом , т. е. ранг не превосходит число неведомых. Потому вероятны два варианта: или , или .

В первом случае система (16.13) имеет квадратную невырожденную матрицу порядка r и, согласно аксиоме Крамера (аксиома Решение системы общего вида 16.2), существует единственное решение этой системы. Другими словами, если ранг системы равен числу неведомых, то система имеет единственное решение, т. е. она является определенной.

Разглядим сейчас случай, когда . Перенесем в правые части уравнений (16.13) все слагаемые, содержащие неведомые хr+1, хr+2, …, xn. Тогда система воспринимает вид

(16.14)

Неведомым хr+1, хr+2, …, xnможно придавать любые значения, и поэтому Решение системы общего вида они именуются свободными. Неведомые х1, х2, …, xrсоответствующие базовым столбцам, именуются базовыми. Из системы (16.14) просто отыскать выражения базовых неведомых через свободные, согласно аксиоме Крамера, рассматривая правые части этих уравнений как элементы столбца свободных членов, содержащие хr+1, хr+2, …, xn. Можно показать, что базовые неведомые х1, х2, …, xrлинейно выражаются через свободные Решение системы общего вида неведомые. Так как свободные неведомые могут принимать любые значения, то в случае, когда ранг совместной системы меньше числа неведомых, эта система является неопределенной: она имеет бессчетное огромное количество решений.

Способ Гаусса

Следует увидеть, что вычисления как по способу оборотной матрицы, так и по способу Крамера являются очень трудозатратными. Оба они Решение системы общего вида требуют порядка п2п!арифметических действий для нахождения решения системы линейных уравнений. При п = 5 это составит около 3000 действий, при п = 10 — около 3, 6 · 108 действий. При решении суровых задач приходится иметь дело с системами уравнений порядка п = 100 и поболее. При таких масштабах даже суперкомпьютерам будет нужно длительное время для вычисления решения. Не считая того Решение системы общего вида, погрешности компьютерного округления чисел приводят к огромным ошибкам в численных расчетах решения систем уравнений огромного порядка. Меж тем есть более экономные способы решения систем линейных уравнений, основанные на подготовительном преобразовании расширенной матрицы системы к специальному виду, а именно способ Гаусса. Разглядим его практическую реализацию.

Пусть для Решение системы общего вида определенности в системе уравнений вида (16.1) (если а11 = 0, то можно переставить на 1-ое место ненулевое слагаемое либо начать с другого уравнения). Умножим 1-ое уравнение системы (16.1) на число a21/a11 и вычтем его из второго уравнения этой системы. Потом умножим обе части первого уравнения на число a31/a11и вычтем его Решение системы общего вида из третьего уравнения и т.д., т. е. процесс заключается в поочередном вычитании первого уравнения, умножаемого на числа ai1/a11, из i-го уравнения (i= 2, 3, ..., т).Таким макаром, в итоге простых преобразований мы получим эквивалентную систему, в какой, начиная со второго уравнения, отсутствуют слагаемые, содержащие неведомую х1:

(16.15)

где верхний Решение системы общего вида индекс в скобках значит новые коэффициенты приобретенные после первого шага. Для уменьшения громоздкости записи удобнее оперировать расширенной матрицей системы, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов. Итак, после первого шага, содержащего (m —1) простых преобразований системы, мы перебегаем от расширенной матрицы (16.5) начальной системы к расширенной матрице

(16.16)

2-ой шаг состоит в том, что сейчас Решение системы общего вида 2-ое уравнение системы (16.13), либо 2-ая строчка матрицы (16.14), употребляется для подобных простых преобразований строк с третьей по m-ю: эта строчка поочередно множится на число и вычитается из i-й строчки (r= 3, 4, ..., m). В итоге этих (m-2) простых преобразований получаем новейшую расширенную матрицу, подобающую новейшей эквивалентной системе уравнений Решение системы общего вида. Эта матрица имеет вид

(16.17)

где верхний индекс значит новые коэффициенты. В случае если элемент , 2-ое уравнение можно поменять местами с другим уравнением, у которого элемент .

Продолжим этот процесс аналогичным образом (т.е. на 3-ем шаге преобразуются строчки с 4-й по m-ю, на четвертом шаге — строчки с 5-й по m-ю и Решение системы общего вида т.д.) до того времени, пока не пойдем до последней m-й строчки. После (r–1)-ro шага процесса поочередного исключения неведомых мы получим последующую расширенную матрицу:

(16.18)

Последние (m-r) строк этой матрицы соответствуют уравнениям эквивалентной системы уравнений

(16.19)

Эти уравнения могут показаться, если надлежащие уравнения начальной системы (16.1) представляют собой Решение системы общего вида линейные композиции других уравнений этой системы. Тут мы не изучили заблаговременно систему (16.1) на совместность; потому если эта система несовместна, то хотя бы одно из чисел не равно нулю. Таким макаром, способ Гаусса позволяет на определенном шаге установить вероятную несовместность начальной системы линейных уравнений либо выявить и удалить уравнения, являющиеся Решение системы общего вида линейными комбинациями других уравнений системы (16.1), если она совместна.

Пусть система (16.1) совместна, тогда все правые части Уравнений (16.19) равны нулю, и после удаления нулевых уравнений в эквивалентной системе и нулевых строк в расширенной матрице получаем матрицу специфичного ступенчатого вида, ранг которой равен r. Все элементы этой матрицы, стоящие слева либо ниже Решение системы общего вида частей аiiравны нулю:

(16.20)

Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений ранга r, которая имеет вид

(16.21)

Приобретенная система уравнений (16.21) позволяет отыскать решение, осуществляя процесс снизу ввысь, т.е. от последнего уравнения к первому. Переход от системы (16.1) к эквивалентной ей системе (16.21) именуется прямым ходом, а нахождение неведомых из системы (16.21) — оборотным ходом способа Решение системы общего вида Гаусса. Дальше последовательность действий подобна последовательности для решения системы линейных уравнений вида.

Если r= п, то система (16.21) имеет вид

(16.22)

Поднимаясь снизу ввысь, поочередно находим (оборотный ход способа Гаусса):

· из последнего r-го уравнения неведомое ;

· из (r–1)-го уравнения неведомое хr-1методом подстановки в это уравнение уже отысканного неведомого хr;

· из i Решение системы общего вида-го уравнения неведомое хiпри подстановке в него отысканных величин хr, xr-1, …, xi+1;

· и т.д. до первого уравнения, из которого при подстановке в него уже отысканных величин хr, xr-1, …, x2 находим x1.

Если ранг системы уравнений (16.21) r< п, объявляем неведомые хr+1, xr+2, …, хпсвободными и формируем правые части уравнений (16.21), оставляя Решение системы общего вида в левых частях слагаемые, содержащие базовые переменные х1, x2, …, xr:

(16.23)

Решение этой системы находится оборотным ходом способа; сейчас базовые неведомые зависят от свободных неведомых, которые могут принимать любые значения, а поэтому система (16.1) имеет бессчетное огромное количество решений.

Разглядим примеры решения систем линейных уравнений способом Гаусса.


reshenie-stranica-4.html
reshenie-sttbilisskaya.html
reshenie-sudej-vsegda-imeet-verh-nad-pravilami-i-neosporimo.html