Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel

Задание 2

Нелинейное программирование

Задачка именуется задачей нелинейного программирования, если её математическая модель имеет вид

в какой посреди либо есть нелинейные функции.

В отличие от задач линейного программирования не существует одного способа для решения задач нелинейного программирования.

Решение задач нелинейного программирования способом Лагранжа

Способ Лагранжа заключается в выполнении последующих действий.

1. Если в системе ограничений Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel встречаются неравенства, то, вводя дополнительные переменные, конвертировать неравенства в равенства.

2. Для данной системы ограничений и мотивированной функции составить функцию Лагранжа:

где есть неопределённые коэффициенты[1].

3. Приравнять к нулю все личные производные первого порядка функции L, и получить систему уравнений (в общем случае нелинейных уравнений):

4. Решить полученную систему и, тем, отыскать Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel все стационарные точки функции , другими словами такие точки, в каких функция может иметь экстремумы (минимумы либо максимумы).

5. Изучить каждую точку на наличие в ней экстремума функции , применяя последующую аксиому:

если функция два раза дифференцируема в округи стационарной точки S = , причём все её 2-ые производные в этой округи непрерывны, то функция Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel имеет в точке S:

минимум, если все числа D1, D2, …, Dn являются положительными,

максимум, если знаки чисел D1, D2, …, Dn чередуются, начиная с минуса,

где

Если же числа Di не являются положительными либо их знаки не чередуются, то вопрос о наличии экстремума функции в стационарной точке остаётся открытым и просит дополнительных исследовательских работ Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel.

Пример. Решить способом Лагранжа последующую задачку нелинейного программирования:

Решение.

1. Объявляем мотивированную функцию f и функцию Лагранжа L:

2. Находим стационарные точки:

а) объявляем все личные производные первого порядка функции L:

объявление производной итог

б) приравниваем к нулю все личные производные первого порядка функции Лагранжа L и получаем систему, которую

Таким Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel макаром, функция f имеет одну стационарную точку (91, 89).

3. Для каждой стационарной точки проверяем наличие у функции f минимума либо максимума. Для этого:

а) объявляем все производные второго порядка мотивированной функции f:

объявление производной итог

б) вычисляем значения всех производных второго порядка функции f в каждой стационарной точке:

в) вычисляем значения членов Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel последовательности

Так числа D1, D2 положительны, то функция f в точке (91, 89) имеет минимум, равный

Ответ. Функция при условии имеет минимум 17278, который достигается при x1 = 91, x2 = 89.

Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel

Задачки нелинейного программирования в Microsoft Excel решаются так же как и задачки линейного программирования (см. 1.2), с той только различием Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel, что в окне "Характеристики поиска решения" нужно скинуть флаги "Линейная модель" и, если это нужно, "Неотрицательные значения".

Пример. Решить в Microsoft Excel последующую задачку нелинейного программирования:

отыскать при условии

В данной модели система ограничений состоит из 1-го линейного уравнения и нелинейной мотивированной функции.

1. Заполняем ячейки на рабочем листе необходимыми Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel переменными, мотивированной функцией и ограничениями:

2. В окне "Характеристики поиска решения" сбрасываем флаги "Линейная модель" (потому что решаемая задачка есть задачка нелинейного программирования)" и "Неотрицательные значения" (в условии задачки нет ограничений на знаки переменных).

3. После нажатия кнопки "Выполнить" получаем ответ:

из которого следует, что малое значение мотивированной функции Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel равно 17278 и достигается при x1 = 91 и x2 = 89.


reshenie-uravnenij-i-neravenstv-s-parametrami-chast-3.html
reshenie-uravnenij-ispolzuya-monotonnost-funkcij.html
reshenie-uravnenij-soderzhashih-peremennuyu-programmi-elektivnih-kursov-istochnikovedenie-istorii-rossii-dlya-uchashihsya.html