Решение задач

Городское общеобразовательное учреждение

Щёлковский лицей

Щелковского городского района Столичной области


«ПРОГРЕССИИ ВОКРУГ НАС»


Работа ученика

9 «А» класса

Захарова Павла.


Управляющий Гречаная Е. К.


Щёлково

2011 год.

СОДЕРЖАНИЕ



  1. Арифметическая прогрессия.

  2. Характеристики арифметической прогрессии.

  3. Геометрическая прогрессия.

  4. Характеристики геометрической прогрессии.

  5. Гармоническая прогрессия.

  6. «Родство» арифметической Решение задач и геометрической прогрессий.

  7. Решение задач.

  8. Исторические сведения.

  9. Применение арифметической и геометрической прогрессии.

  10. Вывод.

  11. Перечень использованной литературы.



^ ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Изучить характеристики арифметической и геометрической прогрессии, их связь и применение в окружающей Решение задач жизни. Оковём проведения анализа статистических , переводя их на «язык прогрессий», оформить предсказуемый итог в виде диаграмм, графиков и таблиц.

Методом проведения опыта узнать, является ли процесс размножения зернышек гороха арифметической прогрессией.


^ Арифметическая Решение задач прогрессия.


Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида



где -й член арифметической прогрессии равен



Более точно: последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, выходит из предшествующего добавлением к нему неизменного числа d (шага либо разности Решение задач прогрессии). По другому говоря, для всех частей прогрессии, начиная со второго, выполнено равенство:



Хоть какой член прогрессии может быть вычислен по формуле:

(формула общего члена)

Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле:

, если Решение задач

Если шаг d > 0, прогрессия является растущей; если d < 0, — убывающей.

К примеру:



Характеристики арифметической прогрессии.

  1. Хоть Решение задач какой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего члена прогрессии:
        .

  1. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена Решение задач формулами




  1. Сумма n поочередных членов арифметической прогрессии начиная с члена k равна:





  1. Примером суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:




^ Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов Решение задач прогрессии), в какой каждое следующее число, начиная со второго, выходит из предшествующего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где ,



Хоть какой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:



Если Решение задач b1 > 0 и q > 1, прогрессия является растущей последовательностью, если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью, а при q < 0 , - знакопеременной.

К примеру:



Своё заглавие прогрессия получила по собственному характеристическому свойству:



другими словами каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

^ Характеристики геометрической прогрессии.

1) Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно высчитать по формуле:



2) Произведение Решение задач членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно высчитать по формуле:



3) Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

,


при


, при


4) Если , то , при , и , при .


Гармоническая прогрессия.


Гармоническая прогрессия – последовательность Решение задач вида 1;;;;…….., где числа a,b,c,d0 и a,b,c,d являются членами арифметической прогрессией.

К примеру 1;; ; …… и т.д.


«Родство» арифметической и геометрической прогрессий.

Прочитав сразу определения арифметической и Решение задач геометрической прогрессий, можно направить внимание на то, что они похожи. Нужно только поменять сложение умножением либо напротив. А зная формулу n – ого члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии Решение задач, если поменять сложение умножением, а потом умножение – строительством в степень.





Их связь становится еще больше видна, если вспомнить их характеристические характеристики.





Мною были подобраны неординарные задачки, решаемые при помощи прогрессий.

Решение Решение задач задач.


1)Условие. Стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите стороны треугольника.

Решение. Пусть меньшей катет треугольника АВС: ВС=а, тогда 2-ой катет АС=a+d и гипотенуза АВ=a+2d (где d-разность арифметической Решение задач прогрессии, d>0). Запишем аксиому Пифагора: .Подставим данные : либо =0. Решив это однородное уравнение, получим: a=3d и a=-d, но корень –d не подходит.


Имеем: BC=3d, AC=4d, AB=5d (где Решение задач – хоть какое числоd). Означает, условию задачки удовлетворяют прямоугольные треугольники, подобные египетскому.

2)Условие. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если из третьего отнять 4, то числа образуют арифметическую прогрессию. Если же из второго и третьего членов Решение задач приобретенной арифметической прогрессии отнять по единице, то опять получим арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Решение. Эту задачку можно решить несколькими методами. Мы разглядим только один. Т.к. эти числа образуют геометрическую Решение задач прогрессию, то можно записать их в виде a; aq;. После вычитания из последнего числа 4 получаем числа a; aq; , образующие арифметическую прогрессию. На основании характеристики арифметической прогрессии имеем: aq= , либо 2aq=a+, либо 4=a Решение задач. Если из второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять по единице, то получим числа a; (aq-1); , образующие геометрическую прогрессию. Запишем её свойство : , либо 1=a(2q-5). Для определения a и q имеем Решение задач систему уравнений Разделив уравнения друг на друга, получим 4=, и . Корешки этого уравнения будут q=3 и q=7, надлежащие значения a=1 и a=. Сейчас находим сами числа. 1;3;9 и .


^ Исторические сведения.

«Прогрессия» – латинское слово, значащее Решение задач "движение вперед", было введено римским создателем Боэцием (VI век) и понималось как нескончаемая числовая последовательность.

О прогрессии понятно так издавна, что тяжело найти, кто является её первооткрывателем – ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, 4…n… и Решение задач есть арифметическая прогрессия. О том, как издавна известна геометрическая прогрессия, косвенным образом свидетельствует известное предание о разработке шахмат. В Старой Индии ученый Сета изобрел шахматы. Шах Шерама решил отблагодарить ученого и пообещал выполнить Решение задач хоть какое его пожелание. Сета попросил в заслугу за свое изобретение столько пшеничных зернышек, сколько их получится, если на первую клеточку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, другими Решение задач словами 2 зерна, на третью - в 2 раза больше, чем на 2-ой клеточке, другими словами 4 зерна, и т.д. до шестьдесят четвертой клеточки. Поначалу индийский правитель обрадовался, что недорого отвертелся, и Решение задач только позже узнал, что такового количества пшеницы нельзя собрать со всех полей Земли в течение 10-ов лет. Чтоб расположить это зерно в амбаре, то его размеры должны быть: высота – 4 метра, ширина – 10 метров, длина Решение задач – 30000000 км, в два раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца. А чтоб его получить, то нужно засеять пшеницей площадь всей Земли, считая моря, океаны, горы, пустыни, Арктику с Антарктидой и получать Решение задач при всем этом средний сбор:

18 446 744 073 709 551 615 зёрен.

Другая древная задачка на прогрессии — задачка о делении хлеба, которая записана в именитом египетском папирусе Ринда: 100 мер хлеба поделить меж пятью людьми так, чтоб 2-ой получил Решение задач на столько больше первого, на сколько 3-ий получил больше второго, 4-ый больше третьего и 5-ый больше 4-ого. Не считая того, двое первых должны получить в 7 раз меньше 3-х других. Сколько необходимо дать каждому Решение задач? Решение:

Пусть толика первого – «х», а «у» – разность арифметической прогрессии, тогда:

Толика второго – х + у

Толика третьего – х + 2у

Толика четвёртого – х + 3у

Толика 5-ого – х + 4у





х=1 у=9 . Как следует, хлеб должен быть разделён на Решение задач части:

, , 20, , .


В один прекрасный момент на уроке в 3-ем классе, где обучался Карл Гаусс (в дальнейшем выдающийся германский математик, астролог и физик, «король математиков»), учитель отдал задание сложить все числа от 1 до Решение задач 100. Небольшой Гаусс сходу сообразил, что:

1+100=101

2+99=101

3+98=101 и т.д.

Сообразил он и то, что таких пар будет 50 (в формуле написано n/2). Осталось помножить 101*50 , что мальчишка сделал в уме. Короче говоря Решение задач, он окончил вычисления, чуть только учитель продиктовал задание.

1+2+3+……+98+99+100=(1+100)+(2+99)+…..+(50+51)=101*50=5050

В древней математике Леонтия Магницкого мы находим последующую смешную задачку. Некто продал лошадка за 156 руб. Но клиент, приобретя лошадка, раздумал её брать и вернул торговцу Решение задач, говоря: - Нет мне расчёта брать за эту стоимость лошадка, которая таких средств не стоит. Тогда торговец предложил другие условия: «Если по-твоему стоимость лошадки высока, то купи только её подковные гвозди, лошадка же получишь Решение задач тогда в придачу безвозмездно. Гвоздиков в каждой подкове 6. За 1-ый гвоздь дай мне 1/4коп., за 2-ой – 1/2коп., за 3-ий – 1 коп. и т.д.» Клиент, соблазнённый низкой ценой и желая Решение задач даром получить лошадка, принял условия торговца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить менее 10 рублей. На сколько клиент проторговался? Решение:

Составим числовую последовательность: , , 1, 2, ,………

Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q=2, , n=24. Зная формулу , имеем:



Т Решение задач.е. за 24 подковных гвоздя придётся уплатить около 42 000 рублей.

^ Применение арифметической и геометрической прогрессии.

Формулы арифметической и геометрической прогрессии применяются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии Решение задач, экономике, статистике, также и в ежедневной жизни.

Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость хим реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, быстроту реакции возрастает в Решение задач 150 раз.

Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

Физика. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2 нейтрона. Потом 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё Решение задач на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

Литература. Даже в литературе мы встречаемся с арифметикой. Так, вспомним строчки из «Евгения Онегина».

…Не мог он ямба от хорея,

Как мы не Решение задач бились отличить…

Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8… Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха Решение задач. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…

Ямб; «Мой дЯдя сАмых добросовестных прАвил…» (А.С.Пушкин)

Прогрессия 2, 4, 6, 8…

Хорей; «Я пропАл , как зверек в загОне…» (Б.Л.Пастернак)

Прогрессия 1, 3, 5, 7…

Биология. В микробиологии также работают законы арифметики Решение задач. Так, мельчайшие организмы плодятся делением напополам. При наличии подходящих критерий и через однообразный просвет времени их количество умножается.

^ Практическая работа:

Догадка

Ход исследования

Приобретенный итог

Вывод

исследовательским способом получить гарантированное количество плодов гороха, укладывающееся в арифметическую Решение задач прогрессию.

Я посадил 5 зёрен гороха и выращивал их в схожих критериях.

Через 1,5 – 2 недели зёрна проросли. Через месяц подросло 5 растений. На каждом из растений образовалось различное количество плодов. На первом растении 7 плодов, на Решение задач втором – 9, на 3-ем – 11, на четвёртом – 5, на 5-ом – 4.

Сравнивая приобретенное количество плодов на каждом из растений, я сделал вывод, что ни арифметической, ни геометрической прогрессии в этом случае нет. Ожидаемого результата я не Решение задач получил. На каждом растении подросло различное количество плодов, так как, во-1-х, начальный материал был не полностью схож, во-2-х, невзирая на то, что процесс роста происходил в схожих Решение задач критериях, природных причины повлияли на растения по-разному (освещение, влажность и т.д.). Т.к. условия жизни растений и живых организмов очень сложны и зависят от огромного количества причин, то и процессы, связанные Решение задач с их жизнедеятельностью часто бывает тяжело обрисовать при помощи прогрессии.


Экономика. Прогрессия имеет очень обширное применение в экономике. С её помощью банки создают расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно расположить в кредиты Решение задач, решают, стоит вкладывать средства в большие проекты, доход от которых будет получен через пару лет и т.д. Так, вклады в банках растут по схемам сложных и обычных процентов. Обыкновенные Решение задач проценты – повышение начального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – повышение начального вклада в геометрической прогрессии.

Я изучил, как высчитать доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку Решение задач по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 5 лет. Банк платит клиенту за использование его средствами ставку в размере Решение задач 8% годичных. Схема расчета такая, за 1-ый год хранения средств в банке клиент получит 240тыс. рублей (3 000 000 * 8%) и общая сумма депозита составит 3 240 000 (3 000 000+3 000 000*8%). За два года хранения общая сумма вклада – 3 000 000 *=3 499 200рублей. За три года – 3 000 000 *=3 779 136 рублей Решение задач. За четыре года – 3 000 000 *=4 081 466,88 рублей. За 5 – 3 000 000 * =4 407 984,23 рублей. Налицо геометрическая прогрессия:

=4 407 984,23 рублей, где 3 000 000 – начальная сумма депозита, а 1,08 – знаменатель прогрессии.




На этом же принципе строились и строятся бессчетные «финансовые» пирамиды. В текущее время интенсивно действует Решение задач финансовая афера под заглавием «нигерийские письма счастья». Это «денежная игра» по почте. Вы получаете письмо, в каком написано, что если выслать по обозначенным двум адресам по 25 рублей, а потом разослать ещё двум такие же Решение задач письма, вычеркнув 1- ый адресок и дописав собственный последним, то через некое время вы получите много средств. Сущность пирамиды в том, что от первых 2-ух адресатов устроитель получит 50 рублей, от «игроков» второго Решение задач круга 100 рублей, от «игроков» третьего круга – 200 рублей, после – 400 рублей, и после 5-ого круга – 800 рублей и т.д. Итого после 5 кругов сумма составит 1500 рублей. Но, неважно какая «финансовая» пирамида обречена на крах, т.к. количество Решение задач вновь прибывающих в какой-то момент миниатюризируется. Структура «финансовой» пирамиды такая, что средства получает только тот, кто организовал и запустил пирамиду.



«Сетевой маркетинг» - вербование на работу (см.схему ниже Решение задач) – построен по тому же принципу.










Медицина. По таковой же схеме идёт распространение заразной заболевания посреди людей. Схематически это может смотреться так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя заболевания другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в Решение задач эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. появляется зараза.

Можно сопоставить количество инфицированных через однообразный просвет времени зависимо от знаменателя геометрической прогрессии (q – знаменатель прогрессии, n – количество инфицированных).




Q Решение задач=3

Q=5

Q=7

Q=9

N1

1

1

1

1

N2

3

5

7

9

N3

9

25

49

81

N4

27

125

343

729

Также можно, при помощи этой таблицы, выстроить график роста числа инфицированных от значения знаменателя геометрической прогрессии.




Используя размещенную в сети Веб таблицу «Динамика конфигурации числа Решение задач ВИЧ-инфицированных в разных административных регионах Русской Федерации», я вычислил знаменатель геометрической прогрессии и спрогнозировал число ВИЧ-инфицированных в 2010 г.

Знаменатель геометрической прогрессии будет равен:



где n - количество ВИЧ-инфицированных к каком Решение задач-то году.

Количество инфицированных в 2010 году составит:





Регион

Знаменатель прогрессии(q)

^ Численность инфицированных на 100тыс. населения.







2004 год.

2007год.

2010год.

Ханты-Мансийский АО

1,15

366,57

566,18

846,87

Санкт-Петербург

1,41

168,25

484,17

1330,31

^ Столичная область

1,14

236,26

348,57

517,41

Москва

1,04

154,84

177,09

195,65

^ Приморский край

1,29

109,22

235,56

503,50

Татарстан

1,38

57,05

152,83

394,22

Бурятия

1,19

119,56

204,58

339,55



Вывод:

^ Зная характеристики арифметической и геометрической прогрессии, можно решить много Решение задач увлекательных задач исторического, литературного и практического содержания.


Перечень использованной литературы.

«Алгебра 9 класс»

Задания для обучения и развития учащихся

«Интеллект - центр», Москва 2008г.

«Алгебра 9 класс»

«Просвещение» , Москва 2009г.

«Справочник школьника 5 – 11 классы»

«АСТ - ПРЕСС», Москва 2001г.

Ресурсы сети веб:


reshenie-zadachi-ob-optimalnoj-proizvodstvennoj-programme-s-pomoshyu-excel.html
reshenie-zadachi-po-raschetu-cepi-peremennogo-toka.html
reshenie-zadachi-s-pomoshyu-nadstrojki-excel-poisk-resheniya.html